data: 2023-09-26
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Richiami di Algebra
tipologia: sommarioEquazioni e soluzione
Alcuni richiami di algebra propedeutici, tra cui la nozione e il significato dell'equazione, della soluzione all'equazione. Appunti di ALEG il 26.09.2023
data: 2023-09-26
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Equazioni
tipologia: appuntiCos'è un equazione? Una soluzione? Definizioni intuitive di questi concetti.
Una definizione intuitiva di un'equazione può essere una domanda, a cui si presuppone di avere una risposta. Si illustra il concetto mediante un esempio.
ESEMPIO 1. L'equazione
In questa domanda ci sono dei assunti che si presumono veri, per esempio ci si presuppone che c'è solo un numero che soddisfi alla risposta, oppure che la risposta sia un numero.
Se l'equazione è una domanda a cui si può dare una risposta, allora la soluzione di un'equazione non è che altro una risposta corretta alla domanda; dunque è un numero.
ESEMPIO 2. La soluzione dell'esempio 1 (vedi sopra) è
Pertanto si capisce che il metodo non conta, dato che la quantità che si ottiene al membro sinistro (ovvero a sinistra del simbolo
Inoltre, la teoria delle equazioni di 2° grado ci dice che non ci sono altre soluzioni e che
Nel prossimo file si considereranno le Equazioni e Proprietà LineariEquazioni e Proprietà Lineari, ovvero le equazioni di primo grado, da cui si può osservare delle caratteristiche e delle proprietà peculiari.
data: 2023-09-26
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Equazioni Lineari
tipologia: appuntiEquazioni Lineari
ESEMPIO 1. Consideriamo la seguente equazione:
Intanto osserviamo che in questa equazione sono presenti tre variabili, ossia
Richiamandoci alla definizione della soluzionesoluzione, risolvere quest'equazione significa determinare una (o tutte) le terne di numeri
OSSERVAZIONE 1.1. Se in un'equazione a una variabile (come nell'Esempio 1.Esempio 1.) ci viene chiesto di determinare solo un numero, in questo esempio ogni soluzione dev'essere costituito da tre numeri; quindi ci viene chiesta una terna di numeri, che devono apparire insieme. Il numero che costituisce la terna si chiama entrata.
ESEMPIO 1.1.1. La terna
Parimenti, anche la scelta
Similmente anche
Un sistema di equazioni lineari è costituito da più equazioni lineari; una soluzione viene considerata tale quando soddisfa tutte le equazioni nel sistema.
ESEMPIO Un esempio di equazione lineare che verrà preso in considerazione è la seguente.
C'è un motivo per studiare le equazioni lineari, in quanto emergono dei nuovi comportamenti particolari.
Ora accade che queste ultime 2 soluzioni in esempio 1.1.1. (vedi sopra) che abbiamo esibito possiamo costruire delle altre soluzioni, sfruttando le proprietà di base delle operazioni tra numeri, in particolare quella associativa, commutativa e distributiva.
Più concretamente si mostra che
Però si può vedere questa terna nel modo seguente:
Analizziamo ora un secondo fenomeno. Si mostra che
OSSERVAZIONE 3.
Condensando quanto osservato, troviamo le tre proprietà principali:
data: 2023-09-26
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Metodo di Eliminazione di Gauss
tipologia: appunti
stato: "1"Un metodo per risolvere un sistema: il metodo di Gauss.
Consideriamo il seguente sistema di equazioni linearisistema di equazioni lineari.
Il metodo si consta principalmente di manipolare il sistema al fine di trovare uno equivalente più semplice da risolvere, ovvero nella forma in cui compaiono:
Se ora, a partire dal sistema iniziale, si vuole avere una scrittura più compatta, allora si può estrarre i coefficienti e porli in una tabella. In tal caso otterremo il seguente.
In questo caso si può ripercorrere i passaggi appena svolti nel seguente modo:
OSS. Nel passaggio quinto (5.) si nota che la matrice è disposta a scalini; in questo caso si parla della gradinizzazione di una matrice.